int_{0}^{pi} sqrt{frac{1 + cos 2x}{2}} , dx क | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ होता है। इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{2 \cos^2 x}{2}} \, dx = \

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$2$

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(B) हम जानते हैं कि $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ होता है। इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{2 \cos^2 x}{2}} \, dx = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx$। चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $\cos x \ge 0$ और $x \in [\pi/2, \pi]$ के लिए $\cos x \le 0$ होता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं: $I = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx - \int_{\pi/2}^{\pi} \cos x \, dx$। समाकलन का मान निकालने पर: $I = [\sin x]_{0}^{\pi/2} - [\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$। $I = (\sin(\pi/2) - \sin(0)) - (\sin(\pi) - \sin(\pi/2))$। $I = (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2$।

$\int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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निश्चित समाकलन $\int_2^5 2[x] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन $\leq x$ को दर्शाता है।

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मान लीजिए कि $\lim _{c \rightarrow 0} \int_c^x \frac{b t \cos 4 t - a \sin 4 t}{t^2} d t = \frac{a \sin 4 x}{x} - 1$. $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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