निश्चित समाकलन int_2^5 2[x] , dx का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_2^5 2[x] \, dx$ दिया गया है। चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,यह $1$ लंबाई के अंतराल में स्थिर पूर्णांक मान लेता है। हम सम

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$18$

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(A) हमें समाकलन $I = \int_2^5 2[x] \, dx$ दिया गया है। चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,यह $1$ लंबाई के अंतराल में स्थिर पूर्णांक मान लेता है। हम समाकलन को पूर्णांकों $3$ और $4$ पर विभाजित करते हैं: $I = 2 \left( \int_2^3 [x] \, dx + \int_3^4 [x] \, dx + \int_4^5 [x] \, dx ight)$ $x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$ है। $x \in [3, 4)$ के लिए,$[x] = 3$ है। $x \in [4, 5)$ के लिए,$[x] = 4$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = 2 \left( \int_2^3 2 \, dx + \int_3^4 3 \, dx + \int_4^5 4 \, dx ight)$ $I = 2 \left( [2x]_2^3 + [3x]_3^4 + [4x]_4^5 ight)$ $I = 2 \left( (6 - 4) + (12 - 9) + (20 - 16) ight)$ $I = 2 \left( 2 + 3 + 4 ight) = 2 	imes 9 = 18$.

निश्चित समाकलन $\int_2^5 2[x] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन $\leq x$ को दर्शाता है।

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$\int_{-1}^2 |x| \, dx =$

निम्नलिखित निश्चित समाकलों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$(i)$ $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m(x) \cos (x) d x = \frac{1}{m+1}$
(ii) $\int_0^{\pi / 2} \sin (x) \cos ^n(x) d x = \frac{1}{n+1}$

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