int_0^pi |sin^3 x| dx का मान है | vedclass

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Question

(C) हमें समाकलन $I = \int_0^\pi |\sin^3 x| dx$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin^3 x| = \sin^3 x$ होग

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$\frac{4}{3}$

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(C) हमें समाकलन $I = \int_0^\pi |\sin^3 x| dx$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin^3 x| = \sin^3 x$ होगा। अतः,$I = \int_0^\pi \sin^3 x dx$। सर्वसमिका $\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4} dx$ $I = \frac{1}{4} [ -3 \cos x + \frac{\cos 3x}{3} ]_0^\pi$ $I = \frac{1}{4} [ (-3 \cos \pi + \frac{\cos 3\pi}{3}) - (-3 \cos 0 + \frac{\cos 0}{3}) ]$ $I = \frac{1}{4} [ (3 - \frac{1}{3}) - (-3 + \frac{1}{3}) ]$ $I = \frac{1}{4} [ \frac{8}{3} - (-\frac{8}{3}) ] = \frac{1}{4} [ \frac{16}{3} ] = \frac{4}{3}$।

$\int_0^\pi |\sin^3 x| dx$ का मान है

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मान लीजिए $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ और $F(x)=\int_0^x t f(t) d t$ है। यदि $F(x^2)=x^4+x^5$ है,तो $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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