यदि समाकलन int_{0}^{5} frac{x+[x]}{e^{x-[x]}} | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{5} \frac{x+[x]}{e^{x-[x]}} \,dx$. चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,हम समाकलन को पूर्णांक बिंदुओं पर विभाजित करते हैं:$I = \s

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$25$

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(B) माना $I = \int_{0}^{5} \frac{x+[x]}{e^{x-[x]}} \,dx$. चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,हम समाकलन को पूर्णांक बिंदुओं पर विभाजित करते हैं:$I = \sum_{k=0}^{4} \int_{k}^{k+1} \frac{x+k}{e^{x-k}} \,dx$.माना $t = x-k$,तो $dx = dt$. जब $x=k, t=0$ और जब $x=k+1, t=1$. समाकलन इस प्रकार बनता है:$I = \sum_{k=0}^{4} \int_{0}^{1} \frac{t+k+k}{e^{t}} \,dt = \sum_{k=0}^{4} \int_{0}^{1} (t+2k) e^{-t} \,dt$.$I = \int_{0}^{1} (t+0)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+2)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+4)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+6)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+8)e^{-t} dt$.$I = \int_{0}^{1} (5t + 20)e^{-t} dt = 5 \int_{0}^{1} (t+4)e^{-t} dt$.खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए $\int (t+4)e^{-t} dt = -(t+4)e^{-t} - \int -e^{-t} dt = -(t+4)e^{-t} - e^{-t} = -(t+5)e^{-t}$.$0$ से $1$ तक मान लेने पर: $5[-(1+5)e^{-1} - (-(0+5)e^{0})] = 5[-6e^{-1} + 5] = -30e^{-1} + 25$.$\alpha e^{-1} + \beta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = -30$ और $\beta = 25$ प्राप्त होता है।शर्त की जाँच करने पर: $5(-30) + 6(25) = -150 + 150 = 0$. जो सत्य है।अतः,$(\alpha + \beta)^{2} = (-30 + 25)^{2} = (-5)^{2} = 25$.

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