જો સંકલન int_{0}^{5} frac{x+[x]}{e^{x-[x]}} , | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{5} \frac{x+[x]}{e^{x-[x]}} \,dx$. $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી,આપણે સંકલનને પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:$I

Vedclass · Accepted Answer

$25$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{5} \frac{x+[x]}{e^{x-[x]}} \,dx$. $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી,આપણે સંકલનને પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:$I = \sum_{k=0}^{4} \int_{k}^{k+1} \frac{x+k}{e^{x-k}} \,dx$.ધારો કે $t = x-k$,તો $dx = dt$. જ્યારે $x=k, t=0$ અને જ્યારે $x=k+1, t=1$. સંકલન આ મુજબ બને છે:$I = \sum_{k=0}^{4} \int_{0}^{1} \frac{t+k+k}{e^{t}} \,dt = \sum_{k=0}^{4} \int_{0}^{1} (t+2k) e^{-t} \,dt$.$I = \int_{0}^{1} (t+0)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+2)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+4)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+6)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+8)e^{-t} dt$.$I = \int_{0}^{1} (5t + 20)e^{-t} dt = 5 \int_{0}^{1} (t+4)e^{-t} dt$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int (t+4)e^{-t} dt = -(t+4)e^{-t} - \int -e^{-t} dt = -(t+4)e^{-t} - e^{-t} = -(t+5)e^{-t}$.$0$ થી $1$ સુધી મૂલ્ય લેતા: $5[-(1+5)e^{-1} - (-(0+5)e^{0})] = 5[-6e^{-1} + 5] = -30e^{-1} + 25$.$\alpha e^{-1} + \beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -30$ અને $\beta = 25$ મળે છે.શરત તપાસતા: $5(-30) + 6(25) = -150 + 150 = 0$. જે સાચું છે.આમ,$(\alpha + \beta)^{2} = (-30 + 25)^{2} = (-5)^{2} = 25$.

Similar Questions

જો $a \in Z^{+}$,$[x]$ એ $x$ થી વધુ ન હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક હોય અને $\int_0^a 2^{[x]} dx = 127$ હોય,તો $a =$

$\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ નું સમાધાન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

$\alpha$ ની એક કિંમત શોધો જેથી $\int_{\alpha}^{\alpha+1} \frac{dx}{(x+\alpha)(x+\alpha+1)} = \log_{e}\left(\frac{9}{8}\right)$ થાય.

ધારો કે $\phi (x) = \int_{0}^{1} e^{x} e^{t} \phi (t) dt + x$. જો $\phi (\ln (e^{2} - 3))$ એ $A$ બરાબર હોય,તો $A$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \cos^{-8} x \, dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module