int_0^1 x f(x) dx = frac{1}{3} + frac{1}{4} i | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx - \int_0^

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx - \int_0^1 x f(x) dx + \frac{1}{3} = 0$ $4$ વડે ગુણતા: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \frac{4}{3} = 0$ $\int_0^1 (2x)^2 dx = \int_0^1 4x^2 dx = [\frac{4x^3}{3}]_0^1 = \frac{4}{3}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \int_0^1 4x^2 dx - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$ $\int_0^1 (f(x)^2 - 4x f(x) + 4x^2) dx = 0$ $\int_0^1 (f(x) - 2x)^2 dx = 0$ $f(x)$ સતત વિધેય હોવાથી,$(f(x) - 2x)^2$ એ અ-ઋણ અને સતત છે. અ-ઋણ સતત વિધેયનું સંકલન $0$ હોવા માટે,સંકલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેથી,$f(x) - 2x = 0 \Rightarrow f(x) = 2x$. આમ,આવું ફક્ત $1$ સતત વિધેય મળે છે.

$\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ નું સમાધાન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

$\int_0^1 x^{5/2} (1-x)^{3/2} \, dx =$

$\int_a^b \frac{\log x}{x} \, dx = $

જો $\int_{n}^{n+1} g(x) dx = n^2, \forall n \in Z$ હોય,તો $\int_{-3}^3 g(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે $a \leq x \leq 2a$ અંતરાલમાં તમામ શિરોલંબ જીવાઓની સરેરાશ લંબાઈ શોધો.

$\int_{-1}^{3/2} |x \sin \pi x| \, dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module