int_0^1 {log sin left( {frac{pi }{2}x} right) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^1 \log \sin \left( \frac{\pi }{2}x ight) dx$ है। $\frac{\pi }{2}x = 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{2}{\pi} d	heta$ प

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$-\log 2$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^1 \log \sin \left( \frac{\pi }{2}x ight) dx$ है। $\frac{\pi }{2}x = 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{2}{\pi} d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$ है,तो $	heta = 0$ और जब $x = 1$ है,तो $	heta = \frac{\pi}{2}$ है। अतः,$I = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \log \sin 	heta \, d	heta$। मानक समाकल $\int_0^{\pi/2} \log \sin 	heta \, d	heta = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{2}{\pi} \left( -\frac{\pi}{2} \log 2 ight) = -\log 2$।

$\int_0^1 {\log \sin \left( {\frac{\pi }{2}x} \right)} \,dx = $

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$\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = $

निश्चित समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x \cdot \operatorname{cosec} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$n \in N$ के लिए,$\int_{0}^{n\pi + V} \sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} dx$ का मान . . . है (जहाँ $\frac{\pi}{2} < V < \pi$)

$\int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\log \left( {\frac{{2 - \sin \theta }}{{2 + \sin \theta }}} \right)\,d\theta = } $

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