int_{ - pi }^{pi } {frac{{2x(1 + sin x)}}{{1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:$I = \int_{ - \pi }^\pi

Vedclass · Accepted Answer

${\pi ^2}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:$I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} + \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.પ્રથમ ભાગ માટે,$f(x) = \frac{2x}{1 + \cos^2 x}$ લો. અહીં $f(-x) = \frac{-2x}{1 + \cos^2(-x)} = -f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય અયુગ્મ છે. તેથી,$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = 0$.બીજા ભાગ માટે,$g(x) = \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x}$ લો. અહીં $g(-x) = \frac{2(-x)\sin(-x)}{1 + \cos^2(-x)} = \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x} = g(x)$ હોવાથી,આ વિધેય યુગ્મ છે. તેથી,$\int_{-\pi}^{\pi} g(x) dx = 2 \int_0^{\pi} g(x) dx$.આથી,$I = 2 \int_0^{\pi} \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = 4 \int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ ... $(i)$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = 4 \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin(\pi - x)}{1 + \cos^2(\pi - x)} dx = 4 \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ ... $(ii)$.$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:$2I = 4 \int_0^{\pi} \frac{x\sin x + (\pi - x)\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = 4\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.$I = 2\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.ધારો કે $t = \cos x$,તો $dt = -\sin x dx$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\pi, t=-1$.$I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} = 2\pi [	an^{-1} t]_{-1}^1$.$I = 2\pi (	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)) = 2\pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = 2\pi (\frac{\pi}{2}) = \pi^2$.

$\int_{ - \pi }^{\pi } {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $\int \limits_0^\pi \frac{5^{\cos x}(1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx}{1+5^{\cos x}} = \frac{k \pi}{16}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત $...........$ છે.

$\int_0^{\pi /2} {\log \left( {\frac{{4 + 3\sin x}}{{4 + 3\cos x}}} \right)} \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} d x$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{2}^{8}|x-5| d x$ સંકલનનું મૂલ્ય શોધો.

$\int\limits_0^{\pi / 2n} \frac{dx}{1 + \tan^n(nx)} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module