(x^2 + y^2)dy = xy dx है। यदि y(x_0) = e और y | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2)dy = xy dx$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 dy + y^2 dy = xy dx$ प्राप्त होता है।$y = vx$ प्रतिस्थापन का उ

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$\sqrt{3}e$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2)dy = xy dx$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 dy + y^2 dy = xy dx$ प्राप्त होता है।$y = vx$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$dy = v dx + x dv$ प्राप्त होता है।$(x^2 + v^2 x^2)(v dx + x dv) = x(vx) dx$.$x^2(1 + v^2)(v dx + x dv) = vx^2 dx$.$(1 + v^2)(v dx + x dv) = v dx$.$v dx + x dv + v^3 dx + v^2 x dv = v dx$.$x dv(1 + v^2) = -v^3 dx$.$\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x}$.$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.चूंकि $y(1) = 1$ दिया गया है,इसलिए $-\frac{1}{2} + \ln(1) = C \implies C = -\frac{1}{2}$.अतः,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$.$y(x_0) = e$ के लिए,$-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$.$-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2}$.$x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \sqrt{3}e$.

$(x^2 + y^2)dy = xy dx$ है। यदि $y(x_0) = e$ और $y(1) = 1$ है,तो $x_0$ का मान ज्ञात कीजिए:

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