x dy - y dx = sqrt{x^2 - y^2} dx और y(1) = 0 | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$. $dx$ से भाग देने पर: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2 - y^2}$. $y = vx$ प्रतिस्थापित कर

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$y = x \sin(\ln x)$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$. $dx$ से भाग देने पर: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2 - y^2}$. $y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. $x(v + x \frac{dv}{dx}) - vx = \sqrt{x^2 - v^2x^2}$. $vx + x^2 \frac{dv}{dx} - vx = x \sqrt{1 - v^2}$. $x^2 \frac{dv}{dx} = x \sqrt{1 - v^2} \implies \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{dx}{x}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{dx}{x} \implies \sin^{-1}(v) = \ln|x| + C$. $v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$. चूंकि $y(1) = 0$ दिया है,$x = 1, y = 0$ रखने पर: $\sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$. अतः,$\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln x \implies \frac{y}{x} = \sin(\ln x) \implies y = x \sin(\ln x)$.

$x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$ और $y(1) = 0$ की शर्त को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए:

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y + x}$ का हल है

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