अवकल समीकरण y^{prime} = frac{y}{x + sqrt{xy}} | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + \sqrt{xy}}$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,अतः $y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv

Vedclass · Accepted Answer

$2\sqrt{x/y} = \ln|x| + C$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + \sqrt{xy}}$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,अतः $y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx}{x + \sqrt{x^2v}} = \frac{v}{1 + \sqrt{v}}$.$x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + \sqrt{v}} - v = \frac{-v\sqrt{v}}{1 + \sqrt{v}}$.चरों को पृथक करने पर: $-\frac{1 + \sqrt{v}}{v\sqrt{v}} dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow -(\frac{1}{v^{3/2}} + \frac{1}{v}) dv = \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int (v^{-3/2} + v^{-1}) dv = \int \frac{1}{x} dx$.$-(-2v^{-1/2} - \ln|v|) = \ln|x| + C$.$2\frac{1}{\sqrt{v}} + \ln|v| = \ln|x| + C$.$v = y/x$ रखने पर,$2\sqrt{x/y} + \ln(y/x) = \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $y^{\prime} = \frac{y}{x + \sqrt{xy}}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है):

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अवकल समीकरण $x \cos \frac{y}{x}(y d x+x d y)=y \sin \frac{y}{x}(x d y-y d x)$ का व्यापक हल है

$x \frac{d y}{d x} = y(\log y - \log x + 1)$ का हल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

दर्शाइए कि अवकल समीकरण $y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$ एक समघातीय (homogeneous) समीकरण है और इसका व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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