x dy - y dx = sqrt{x^2 - y^2} dx અને y(1) = 0 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$. $dx$ વડે ભાગતા: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2 - y^2}$. $y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx}

Vedclass · Accepted Answer

$y = x \sin(\ln x)$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$. $dx$ વડે ભાગતા: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2 - y^2}$. $y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. $x(v + x \frac{dv}{dx}) - vx = \sqrt{x^2 - v^2x^2}$. $vx + x^2 \frac{dv}{dx} - vx = x \sqrt{1 - v^2}$. $x^2 \frac{dv}{dx} = x \sqrt{1 - v^2} \implies \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{dx}{x}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{dx}{x} \implies \sin^{-1}(v) = \ln|x| + C$. $v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$. $y(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 1, y = 0$ લેતા: $\sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$. તેથી,$\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln x \implies \frac{y}{x} = \sin(\ln x) \implies y = x \sin(\ln x)$.

$x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$ અને $y(1) = 0$ શરતનું પાલન કરતા વક્રનું સમીકરણ શોધો:

Similar Questions

$\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy = 0$ સ્વરૂપના સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણને ઉકેલવા માટે કયો આદેશ લેવો જોઈએ?

નીચેના વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ શોધો: $\{x \cos (y/x) + y \sin (y/x)\} y dx = \{y \sin (y/x) - x \cos (y/x)\} x dy$.

જો $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$,$x > 0$,$\phi > 0$,અને $y(1) = -1$ હોય,તો $\phi(y^2/4)$ ની કિંમત શોધો:

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $(x-y) dy - (x+y) dx = 0$ એ એક સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module