कथन-$1$: एक पिंड $\omega$ कोणीय वेग और $I$ जड़त्व आघूर्ण के साथ एक अक्ष पर घूम रहा है। यदि कोई बाहरी टॉर्क नहीं लगाया जाता है,तो इसका कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है,लेकिन इसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ कम हो जाती है।
कथन-$2$: $L = I\omega$ और $K = \frac{L^2}{2I} = \frac{1}{2} I\omega^2$.

यदि पृथ्वी अचानक घूमना बंद कर दे और इसकी पूरी घूर्णन $KE$ (गतिज ऊर्जा) का उपयोग इसके तापमान को बढ़ाने में किया जाए और यदि $s$ को पृथ्वी के पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा माना जाए,तो पृथ्वी के तापमान में वृद्धि होगी: ($R =$ पृथ्वी की त्रिज्या और $\omega =$ इसका कोणीय वेग,$J =$ जूल का नियतांक)

$M=0.2 \ kg$ द्रव्यमान का एक कण प्रारंभ में $xy$-समतल में बिंदु $(x=-l, y=-h)$ पर विरामावस्था में है,जहाँ $l=10 \ m$ और $h=1 \ m$ है। कण को $t=0$ समय पर धनात्मक $x$-दिशा में $a=10 \ m/s^2$ के निरंतर त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है। मूल बिंदु के सापेक्ष इसका कोणीय संवेग और बलाघूर्ण,$SI$ इकाइयों में,क्रमशः $\vec{L}$ और $\vec{\tau}$ द्वारा दर्शाए गए हैं। $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ क्रमशः धनात्मक $x, y$ और $z$-दिशाओं में इकाई सदिश हैं। यदि $\hat{k}=\hat{i} \times \hat{j}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ कण $t=2 \ s$ समय पर बिंदु $(x=l, y=-h)$ पर पहुँचता है।
$(B)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=2 \hat{k}$ होता है।
$(C)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{L}=4 \hat{k}$ होता है।
$(D)$ जब कण बिंदु $(x=0, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=\hat{k}$ होता है।

$l$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान की एक पतली एकसमान छड़ अपने सिरे से गुजरने वाली क्षैतिज अक्ष के परितः स्वतंत्र रूप से दोलन कर रही है। इसकी अधिकतम कोणीय चाल $\omega$ है। इसका द्रव्यमान केंद्र अधिकतम कितनी ऊँचाई तक ऊपर उठता है?

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। इसे $t$ मोटाई की एक डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,जिसका उसके किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ ही रहता है। डिस्क की त्रिज्या क्या होगी?

$\ell$ लंबाई के एक सरल लोलक को इस प्रकार विस्थापित किया जाता है कि उसकी तनी हुई डोरी क्षैतिज हो और फिर उसे छोड़ दिया जाता है। $L$ लंबाई की एक समान छड़, जो एक सिरे पर कीलकित (pivoted) है, को भी उसी समय उसकी क्षैतिज स्थिति से छोड़ दिया जाता है। यदि उनकी गतियाँ तुल्यकालिक (synchronous) हैं (अर्थात, क्षैतिज के नीचे किसी भी कोण $\theta$ पर उनका कोणीय वेग समान है), तो छड़ की लंबाई $L$ क्या है?