कथन-1: श्रेणी 1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + | vedclass

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Question

(C) कथन-$2$ के लिए: यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $\sum_{k=1}^n (k^3 - (k-1)^3) = (1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + \dots + (n^3 - (n-1)^3) = n^3$। अतः,कथन-

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कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है,कथन-$2$ कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

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(C) कथन-$2$ के लिए: यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $\sum_{k=1}^n (k^3 - (k-1)^3) = (1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + \dots + (n^3 - (n-1)^3) = n^3$। अतः,कथन-$2$ सत्य है।कथन-$1$ के लिए: श्रेणी का $k$-वां पद ($k=1$ से शुरू) $T_k = (k-1)^2 + (k-1)k + k^2$ है।ध्यान दें कि $(k-1)^2 + (k-1)k + k^2 = k^3 - (k-1)^3$।यह श्रेणी $\sum_{k=1}^{20} (k^3 - (k-1)^3) = 20^3 = 8000$ है।अंतिम पद $(361 + 380 + 400) = 19^2 + 19 	imes 20 + 20^2$ है,जो $k=20$ के अनुरूप है।अतः,योग $8000$ है। कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$ इसकी सही व्याख्या है।

कथन-$1$: श्रेणी $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ का योग $8000$ है।
कथन-$2$: किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,$\sum_{k=1}^n (k^3 - (k-1)^3) = n^3$.

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यदि $\sum\limits_{n = 1}^5 {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{k}{3}} $ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{1}{3 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 12} + \dots$ $9$ पदों तक $=$

श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)}$

श्रेणी $1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ पद}) = \frac{k n}{n+1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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कथन-$1$: श्रेणी $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ का योग $8000$ है।कथन-$2$: किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,$\sum_{k=1}^n (k^3 - (k-1)^3) = n^3$.