श्रेणी 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + dots का n पदों त | vedclass

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Question

(B) माना श्रेणी $S_n = 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + \dots + T_n$ है। क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2, 3, 4, 5, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं। माना $

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$\frac{n}{6}(n^2 + 3n + 8)$

Vedclass · Answer

(B) माना श्रेणी $S_n = 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + \dots + T_n$ है। क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2, 3, 4, 5, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं। माना $T_n = an^2 + bn + c$ है। $n=1$ के लिए,$T_1 = a + b + c = 2$। $n=2$ के लिए,$T_2 = 4a + 2b + c = 4$। $n=3$ के लिए,$T_3 = 9a + 3b + c = 7$। समीकरणों को घटाने पर,$3a + b = 2$ और $5a + b = 3$ प्राप्त होता है। इन्हें हल करने पर,$2a = 1 \implies a = 1/2$,$b = 1/2$,और $c = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$T_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n + 1 = \frac{n^2 + n + 2}{2}$। योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \frac{1}{2} [\sum k^2 + \sum k + \sum 2]$। $S_n = \frac{1}{2} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + 2n]$। $S_n = \frac{n}{12} [(n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 12] = \frac{n}{12} [2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 12] = \frac{n}{12} [2n^2 + 6n + 16] = \frac{n}{6} (n^2 + 3n + 8)$।

श्रेणी $2 + 4 + 7 + 11 + 16 + \dots$ का $n$ पदों तक योग ज्ञात कीजिए।

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