किसी विषम पूर्णांक n ge 1 के लिए,n^3 - (n-1)^ | vedclass

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Question

(D) दी गई श्रेणी $S = n^3 - (n-1)^3 + (n-2)^3 - (n-3)^3 + \dots + 1^3$ है।चूंकि $n$ एक विषम पूर्णांक है,हम पदों को समूहित कर सकते हैं।$S = \sum_{k=1}^

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$\frac{1}{4}(n + 1)^2(2n - 1)$

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(D) दी गई श्रेणी $S = n^3 - (n-1)^3 + (n-2)^3 - (n-3)^3 + \dots + 1^3$ है।चूंकि $n$ एक विषम पूर्णांक है,हम पदों को समूहित कर सकते हैं।$S = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-k} k^3$.$n=1$ के लिए,$S = 1^3 = 1$. विकल्प $D$ में मान रखने पर: $\frac{1}{4}(1+1)^2(2(1)-1) = \frac{1}{4}(4)(1) = 1$.$n=3$ के लिए,$S = 3^3 - 2^3 + 1^3 = 27 - 8 + 1 = 20$. विकल्प $D$ में मान रखने पर: $\frac{1}{4}(3+1)^2(2(3)-1) = \frac{1}{4}(16)(5) = 20$.अतः,सामान्य सूत्र $\frac{1}{4}(n+1)^2(2n-1)$ है।

किसी विषम पूर्णांक $n \ge 1$ के लिए,$n^3 - (n-1)^3 + (n-2)^3 - (n-3)^3 + \dots + (-1)^{n-1} 1^3$ का मान क्या है?

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