अनंत श्रेणी 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + dots का य | vedclass

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Question

(A) माना योग $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ है। हम जानते हैं कि अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ है,जहाँ $|x

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$(1 + x) / (1 - x)^3$

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(A) माना योग $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ है। हम जानते हैं कि अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ है,जहाँ $|x| दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ प्राप्त होता है। $x$ से गुणा करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ प्राप्त होता है। पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right) = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ प्राप्त होता है। अतः,श्रेणी का योग $S = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ है।

अनंत श्रेणी $1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ का योग क्या है?

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$1^2+\left(1^2+2^2\right)+\left(1^2+2^2+3^2\right)+\ldots+\left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)=$

अनंत श्रेणी $1+\frac{2}{3}+\frac{7}{3^{2}}+\frac{12}{3^{3}}+\frac{17}{3^{4}}+\frac{22}{3^{5}}+\ldots$ का योग किसके बराबर है?

यदि $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \infty = \frac{\pi^4}{90}$ है,तो $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \dots + \infty$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{k}{{{2^{n + k}}}}} } $ का मान ज्ञात कीजिए।

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