यदि frac{1}{1^4} + frac{1}{2^4} + frac{1}{3^4 | vedclass

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Question

(A) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ है।हमें विषम पदों का योग ज्ञात करना है: $S_{odd} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2

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$\frac{\pi^4}{96}$

Vedclass · Answer

(A) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ है।हमें विषम पदों का योग ज्ञात करना है: $S_{odd} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^4} = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \dots$.हम जानते हैं कि $S = S_{odd} + S_{even}$,जहाँ $S_{even} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^4}$ है।$S_{even} = \frac{1}{2^4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{1}{16} S$.अतः,$S_{odd} = S - S_{even} = S - \frac{1}{16} S = \frac{15}{16} S$.$S = \frac{\pi^4}{90}$ का मान रखने पर:$S_{odd} = \frac{15}{16} 	imes \frac{\pi^4}{90} = \frac{1}{16} 	imes \frac{\pi^4}{6} = \frac{\pi^4}{96}$.

यदि $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \infty = \frac{\pi^4}{90}$ है,तो $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \dots + \infty$ का मान ज्ञात कीजिए।

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