1 cdot 3 cdot 5 + 3 cdot 5 cdot 7 + 5 cdot 7 | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = (2r-1)(2r+1)(2r+3)$ है।$T_r = (4r^2 - 1)(2r+3) = 8r^3 + 12r^2 - 2r - 3$.योग $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r$ ज्ञात करने के ल

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$n(2n^3 + 8n^2 + 7n - 2)$

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(A) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = (2r-1)(2r+1)(2r+3)$ है।$T_r = (4r^2 - 1)(2r+3) = 8r^3 + 12r^2 - 2r - 3$.योग $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r$ ज्ञात करने के लिए,हम मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हैं:$S_n = 8 \sum r^3 + 12 \sum r^2 - 2 \sum r - \sum 3$.$S_n = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - 3n$.$S_n = 2n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1) - n(n+1) - 3n$.$S_n = 2n^4 + 8n^3 + 7n^2 - 2n = n(2n^3 + 8n^2 + 7n - 2)$.

$1 \cdot 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7 \cdot 9 + \dots$ श्रेणी का $n$ पदों तक का योग ज्ञात कीजिए।

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श्रेणी $\frac{2}{3} + \frac{8}{9} + \frac{26}{27} + \frac{80}{81} + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

$\sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k-1} \cdot k^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a_{1}=b_{1}=1$,$a_{n}=a_{n-1}+2$,और $b_{n}=a_{n}+b_{n-1}$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n \geq 2$ के लिए है। तो $\sum_{n=1}^{15} a_{n} \cdot b_{n}$ का मान $.........$ है।

$\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^i {\sum\limits_{k = 1}^j 1 } } = \dots$

$1^2 + 2.2^2 + 3^2 + 2.4^2 + 5^2 + 2.6^2 + \dots + 2(2m)^2$ श्रेणी का योग क्या है?

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