જો sumlimits_{r=1}^infty frac{1}{(2r-1)^2} = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $S = \sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots$આપણે તેને એકી અને બેકી

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{6}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $S = \sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots$આપણે તેને એકી અને બેકી પદોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:$S = \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots ight) + \left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \dots ight)$આપેલ છે કે $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$,તેથી એકી પદોનો સરવાળો $\frac{\pi^2}{8}$ છે.બેકી પદોનો સરવાળો $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r)^2} = \frac{1}{4} \sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \frac{1}{4} S$ થાય.તેથી,$S = \frac{\pi^2}{8} + \frac{1}{4} S$.$S - \frac{1}{4} S = \frac{\pi^2}{8} \implies \frac{3}{4} S = \frac{\pi^2}{8}$.$S = \frac{\pi^2}{8} 	imes \frac{4}{3} = \frac{\pi^2}{6}$.

જો $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ હોય,તો $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \dots$

Similar Questions

$1^2 + 2.2^2 + 3^2 + 2.4^2 + 5^2 + 2.6^2 + \dots + 2(2m)^2$ શ્રેણીનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો તેમના સરવાળા કરતા $330$ જેટલો વધારે હોય,તો $n = $

$20$ પદો સુધીનો સરવાળો $1+3+11+25+45+71+\ldots$ કોના બરાબર છે?

બધા $n \in N$ માટે,જો $1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3 > x$ હોય,તો નીચેનામાંથી $x$ ની કિંમત કઈ છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module