$1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 16! + 17!$ ના સરવાળાનો દશકનો અંક નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય છે?

એક પુરુષ $X$ ને $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે. તેની પત્ની $Y$ ને પણ $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે. ધારો કે $X$ અને $Y$ ના કોઈ સામાન્ય મિત્રો નથી. તો $X$ અને $Y$ સાથે મળીને $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષોને પાર્ટીમાં આમંત્રિત કરે,જેથી $X$ અને $Y$ દરેકના $3$ મિત્રો આ પાર્ટીમાં હોય,તેવા કુલ કેટલા પ્રકાર છે:

જો $n = ^mC_2$ હોય,તો $^nC_2$ નું મૂલ્ય શું થાય?

ધારો કે $S$ એ $0, 1$ અને $2$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવી તમામ સાત-અંકી સંખ્યાઓનો ગણ છે. ઉદાહરણ તરીકે,$2210222$ એ $S$ માં છે,પરંતુ $0210222$ એ $S$ માં નથી. તો $S$ માં એવા ઘટકો $x$ ની સંખ્યા કે જેમાં $0$ અને $1$ અંકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક અંક બરાબર બે વાર આવે,તે $....$ ની બરાબર છે.

$5$ અંકની સંખ્યા $\overline{abcde}$ ને $9$ વડે ગુણતા $5$ અંકની સંખ્યા $\overline{edcba}$ મળે છે. તો આ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ એવા પૂર્ણાંકો છે કે જેથી $\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}$,જ્યાં $j = 2, 3, 4, 5, 6, 7$ માટે $0 \leq a_j < j$ છે. તો $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$ નો સરવાળો કેટલો થાય?