$2^n \{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 3) \cdot (2n - 1)\} = \dots$

$3$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓના જૂથમાં,બે છોકરાઓ $B_1$ અને $B_2$ છે. આ છોકરીઓ અને છોકરાઓ એક હરોળમાં એવી રીતે ઊભા રહી શકે કે જેથી બધી છોકરીઓ સાથે હોય,બધા છોકરાઓ સાથે હોય,પરંતુ $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાની બાજુમાં ન હોય,તેવા કુલ કેટલા પ્રકારો છે?

જો $x$ અને $y$ એ $ATRAPATRAM$ શબ્દના અક્ષરોની એવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા દર્શાવે છે કે જેમાં $(i)$ બધા $A$ સાથે હોય અને $(ii)$ કોઈ પણ બે $A$ સાથે ન હોય,તો $x+y$ બરાબર શું થાય?

એક પ્રવેશ પરીક્ષામાં $15$ બહુવિકલ્પ પ્રશ્નો છે. દરેક પ્રશ્નમાં $4$ વિકલ્પો છે. દરેક પ્રશ્ન માટે,એક અથવા એકથી વધુ જવાબો સાચા હોઈ શકે છે. જો કોઈ વિદ્યાર્થી તમામ $15$ પ્રશ્નોના પ્રયત્ન કરે અને યાદચ્છિક રીતે જવાબો ચિહ્નિત કરે,તો તે વિદ્યાર્થી કેટલી અલગ અલગ રીતે પ્રશ્નપત્રનો જવાબ આપી શકે?

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $50000$ થી મોટી એવી કેટલી $5$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય કે જેમાં પ્રથમ અને છેલ્લા અંકનો સરવાળો $8$ થી વધુ ન હોય?

$0, 1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી પાંચ અંકની સંખ્યા બનાવવાની છે. આ રીતે કુલ કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?