$52$ પત્તાના પેકેટને ચાર સમાન જૂથોમાં કેટલી રીતે વિભાજિત કરી શકાય?

એક સંગીત વર્ગમાં પાંચ વિદ્યાર્થીઓ $S_1, S_2, S_3, S_4$ અને $S_5$ છે અને તેમના માટે હારમાં પાંચ બેઠકો $R_1, R_2, R_3, R_4$ અને $R_5$ ગોઠવેલી છે,જ્યાં શરૂઆતમાં બેઠક $R_i$ વિદ્યાર્થી $S_i$ ને ફાળવવામાં આવી છે,$i = 1, 2, 3, 4, 5$. પરંતુ,પરીક્ષાના દિવસે,પાંચ વિદ્યાર્થીઓને યાદચ્છિક રીતે પાંચ બેઠકો ફાળવવામાં આવે છે.
$(1)$ પરીક્ષાના દિવસે,વિદ્યાર્થી $S_1$ ને અગાઉ ફાળવેલી બેઠક $R_1$ મળે અને બાકીના વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈને પણ તેમને અગાઉ ફાળવેલી બેઠક ન મળે તેની સંભાવના છે
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ માટે,ધારો કે $T_i$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે વિદ્યાર્થીઓ $S_i$ અને $S_{i+1}$ પરીક્ષાના દિવસે એકબીજાની બાજુમાં બેસતા નથી. તો,ઘટના $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ ની સંભાવના છે
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$

ત્રણ વ્યક્તિઓને ત્રણ પત્રો લખાવવામાં આવે છે અને તે દરેક માટે એક પરબિડીયું તૈયાર કરવામાં આવે છે. પત્રોને યાદચ્છિક રીતે પરબિડીયાઓમાં એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી દરેક પરબિડીયામાં બરાબર એક પત્ર હોય. ઓછામાં ઓછો એક પત્ર તેના યોગ્ય પરબિડીયામાં હોય તેની સંભાવના શોધો.

$15$ અલગ-અલગ પુસ્તકોને સમાન સંખ્યાના $5$ ઢગલામાં વહેંચવાની સાચી રીતોની સંખ્યા પસંદ કરો.

$5$ પરિણીત યુગલોમાં, જો $5$ પુરુષોના નામ તેમની પત્નીઓના નામ સાથે યાદચ્છિક રીતે જોડવામાં આવે, તો સંભાવના શોધો કે કોઈ પણ પુરુષ તેની પત્નીના નામ સાથે જોડાયેલ નથી.

ગણ $S = \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ ને ત્રણ સમાન કદના ગણ $A, B, C$ માં એવી રીતે વિભાજિત કરવામાં આવે છે કે જેથી $A \cup B \cup C = S$ અને $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \emptyset$ થાય. $S$ ને વિભાજિત કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?