$a, b, c, d, e, f$ अक्षरों में से बिना पुनरावृत्ति के $3$ अक्षरों के कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं,ताकि प्रत्येक विन्यास में कम से कम एक स्वर हो?

एक पंक्ति में $5$ लड़कों और $5$ लड़कियों को कितनी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि लड़के और लड़कियां एकांतर (alternate) क्रम में हों?

आठ कुर्सियों को $1$ से $8$ तक क्रमांकित किया गया है। दो महिलाएं और तीन पुरुष प्रत्येक एक कुर्सी पर बैठना चाहते हैं। पहले महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से कुर्सियां चुनती हैं,और फिर पुरुष शेष कुर्सियों में से कुर्सियां चुनते हैं। संभावित व्यवस्थाओं की संख्या है

$2,000$ और $5,000$ के बीच ऐसी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जो अंकों $0, 1, 2, 3, 4$ का उपयोग करके बनी हों (अंकों की पुनरावृत्ति मान्य नहीं है) और वे $3$ की गुणज हों?

$6$ लड़के और $5$ लड़कियाँ एक पंक्ति में इस प्रकार बैठते हैं कि $(I)$ कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें $(II)$ सभी लड़कियाँ एक साथ बैठें। यदि स्थिति $(I)$ में व्यवस्थाओं की संख्या $p$ है और स्थिति $(II)$ में $q$ है,तो $p/q =$

अंकों $3, 4, 5, 6$ का उपयोग करके $100$ से बड़ी और $5$ से विभाज्य कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि किसी अंक की पुनरावृत्ति न हो?