एक चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष सदिशों $-i + j + k$,$i - j + k$ और $i + j - k$ द्वारा दिए गए हैं,और चौथा शीर्ष मूल बिंदु है।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं जो $4$ घन इकाई आयतन वाले समांतर षट्फलक के सह-आदिम किनारों को दर्शाते हैं,तो $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{r}$ एक सदिश है जो सदिशों $2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ दोनों के लंबवत है और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=5$ को संतुष्ट करता है, तो $|\vec{r}|=$

मान लीजिए $\overline{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overline{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overline{c} = x\hat{i} + (x - 2)\hat{j} - \hat{k}$ है। यदि सदिश $\overline{c}$,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ के समतल में स्थित है,तो $x = \dots$

सदिशों $\vec{x}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{y}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{z}=3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ पर विचार करें। दो भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए,$\vec{X}=\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}-\vec{z}$,$\vec{Y}=\alpha\vec{y}+\beta\vec{z}-\vec{x}$,और $\vec{Z}=\alpha\vec{z}+\beta\vec{x}-\vec{y}$ को परिभाषित करें। यदि सदिश $\vec{X}, \vec{Y}$,और $\vec{Z}$ एक समतल में स्थित हैं,तो $\alpha+\beta-3$ का मान $....$ है।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ कोई भी तीन शून्येतर असमतलीय सदिश हैं और सदिश $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ हैं,तो $[\vec{p} \vec{q} \vec{r}] = ...$