यदि $\vec{r}$ एक सदिश है जो सदिशों $2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ दोनों के लंबवत है और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=5$ को संतुष्ट करता है, तो $|\vec{r}|=$

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी किनारे $\bar{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\bar{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,और $\bar{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं,$1$ घन इकाई है। यदि $\theta$,$\bar{u}$ और $\bar{w}$ के बीच का कोण है,तो $\cos \theta$ का मान है:

यदि $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b})=54$ है,तो $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ और $\vec{c} \times \vec{a}$ कोरों वाले समांतर षट्फलक का आयतन $9 \text{ घन इकाई}$ है, तो $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a})$ और $(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})$ कोरों वाले समांतर षट्फलक का आयतन क्या होगा?

$\alpha$ के उन सभी मानों का योग,जिनके लिए बिंदु जिनके स्थिति सदिश $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,$(\alpha+1) \hat{i}+2 \hat{k}$ और $9 \hat{i}+(\alpha-8) \hat{j}+6 \hat{k}$ समतलीय हैं,बराबर है

यदि बिंदु $A(2,1,-1), B(0,-1,0), C(4,0,4)$ और $D(2,0,x)$ समतलीय हैं,तो $x=$