ધારોકે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એવા છે કે જેથી $|\vec{a}| = 3$ અને $|\vec{b}| = \frac{\sqrt{2}}{3}$ થાય. તો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેના કયા ખૂણા $\theta$ માટે $\vec{a} \times \vec{b}$ એકમ સદિશ બને?

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{c}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ છે. તો એવા સદિશો $\vec{b}$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી $\vec{b} \times \vec{c}=\vec{a}$ અને $|\vec{b}| \in\{1, 2, \ldots, 10\}$ થાય.

ધારો કે $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ ત્રણ એકમ સદિશો છે કે જેથી $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma} = 0$ અને $\vec{\beta}$ તથા $\vec{\gamma}$ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે. તો $\vec{\alpha}$ શું થાય?

ધારો કે $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}$ એક એવો સદિશ છે કે જેથી $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}=2(\vec{a} \times \vec{b})+24 \hat{j}-6 \hat{k}$ અને $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i}) \cdot \overrightarrow{c}=-3$ થાય. તો $|\overrightarrow{c}|^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

ધારો કે $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}=12 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}$,અને $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{b}$,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે. જો $S$ એ $\overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{OC}$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતું સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય,તો ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ અને $S$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર શોધો.

જો બિંદુઓ $P(1, -1, 2)$,$Q(2, 0, -1)$ અને $R(0, 2, 1)$ સમતલીય હોય,તો આ બિંદુઓ ધરાવતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ શોધો.