यदि एक रेखा एक घन के चार विकर्णों के साथ alph | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए कि घन के शीर्ष $(0,0,0)$ और $(a,a,a)$ पर हैं। चार विकर्णों की दिशाएँ इस प्रकार हैं: $\vec{d_1} = (a,a,a)$,$\vec{d_2} = (a,a,-a)$,$\vec{d

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(B) मान लीजिए कि घन के शीर्ष $(0,0,0)$ और $(a,a,a)$ पर हैं। चार विकर्णों की दिशाएँ इस प्रकार हैं: $\vec{d_1} = (a,a,a)$,$\vec{d_2} = (a,a,-a)$,$\vec{d_3} = (a,-a,a)$,और $\vec{d_4} = (-a,a,a)$।मान लीजिए कि रेखा की दिशा $\vec{l} = (x,y,z)$ है,जहाँ $x^2+y^2+z^2=1$ है।रेखा और विकर्ण $\vec{d}$ के बीच के कोण $	heta$ का कोसाइन $|\vec{l} \cdot \hat{d}|$ द्वारा दिया जाता है।अतः,$\cos \alpha = \frac{|x+y+z|}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = \frac{|x+y-z|}{\sqrt{3}}$,$\cos \gamma = \frac{|x-y+z|}{\sqrt{3}}$,और $\cos \delta = \frac{|-x+y+z|}{\sqrt{3}}$।कोसाइन के वर्गों का योग:$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{1}{3} [(x+y+z)^2 + (x+y-z)^2 + (x-y+z)^2 + (-x+y+z)^2]$$= \frac{1}{3} [4(x^2+y^2+z^2)] = \frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$।चूँकि $\sin^2 	heta = 1 - \cos^2 	heta$,इसलिए:$\sum \sin^2 \alpha = 4 - \sum \cos^2 \alpha = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$।

यदि एक रेखा एक घन के चार विकर्णों के साथ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ कोण बनाती है,तो $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + \sin^2 \delta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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