वक्र y^2 = 8x और xy = -1 के उभयनिष्ठ स्पर्शरे | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^2 = 8x$ के लिए,बिंदु $(2t^2, 4t)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $yt = x + 2t^2$ है।यह रेखा अतिपरवलय $xy = -1$ की भी स्पर्शरेखा है। $x = \frac{y

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$y = x + 2$

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(A) परवलय $y^2 = 8x$ के लिए,बिंदु $(2t^2, 4t)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $yt = x + 2t^2$ है।यह रेखा अतिपरवलय $xy = -1$ की भी स्पर्शरेखा है। $x = \frac{yt - 2t^2}{1}$ को $xy = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y(\frac{yt - 2t^2}{1}) = -1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $ty^2 - 2t^2y + 1 = 0$ हो जाता है।रेखा के स्पर्शरेखा होने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर शून्य होना चाहिए:$D = (-2t^2)^2 - 4(t)(1) = 0$$4t^4 - 4t = 0$$4t(t^3 - 1) = 0$चूंकि $t 
eq 0$ (क्योंकि $t=0$ पर $x=0$ प्राप्त होता है,जो $xy=-1$ की स्पर्शरेखा नहीं है),इसलिए $t^3 = 1$,जिससे $t = 1$ प्राप्त होता है।$t = 1$ को स्पर्शरेखा के समीकरण $yt = x + 2t^2$ में रखने पर,हमें $y(1) = x + 2(1)^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $y = x + 2$ हो जाता है।

वक्र $y^2 = 8x$ और $xy = -1$ के उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

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परवलय $x^2 = 8y$ और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण है

यदि $e$ और $e^{\prime}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ और अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 45$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $ee^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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