उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष और र | vedclass

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Question

(A) माना वृत्त का केंद्र $(-h, -k)$ है जहाँ $h, k > 0$ (क्योंकि यह तीसरे चतुर्थांश में है)।चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |-k| =

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$9(x^2 + y^2) + 6x + 24y + 1 = 0$

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(A) माना वृत्त का केंद्र $(-h, -k)$ है जहाँ $h, k > 0$ (क्योंकि यह तीसरे चतुर्थांश में है)।चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |-k| = k$ है।वृत्त का समीकरण $(x + h)^2 + (y + k)^2 = k^2$ है।केंद्र $(-h, -k)$ रेखा $x - y - 1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $-h - (-k) - 1 = 0$,जिसका अर्थ है $k - h = 1$,या $h = k - 1$।वृत्त रेखा $4x - 3y + 4 = 0$ को भी स्पर्श करता है। केंद्र $(-h, -k)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $k$ के बराबर है।$\frac{|4(-h) - 3(-k) + 4|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = k$$\frac{|-4h + 3k + 4|}{5} = k$$h = k - 1$ प्रतिस्थापित करने पर:$|-4(k - 1) + 3k + 4| = 5k$$|-4k + 4 + 3k + 4| = 5k$$|-k + 8| = 5k$स्थिति $1$: $-k + 8 = 5k$ $\Rightarrow 6k = 8$ $\Rightarrow k = \frac{4}{3}$। तब $h = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$।स्थिति $2$: $-k + 8 = -5k$ $\Rightarrow 4k = -8$ $\Rightarrow k = -2$ (संभव नहीं क्योंकि $k > 0$)।अतः,केंद्र $(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$ और $r = \frac{4}{3}$ है।समीकरण $(x + \frac{1}{3})^2 + (y + \frac{4}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2$ है।$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} + y^2 + \frac{8}{3}y + \frac{16}{9} = \frac{16}{9}$।$x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}y + \frac{1}{9} = 0$।$9$ से गुणा करने पर: $9(x^2 + y^2) + 6x + 24y + 1 = 0$।

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यदि रेखा $y = mx + 1$ वृत्त $x^2 + y^2 + 3x = 0$ को $y$-अक्ष से समान दूरी पर और विपरीत दिशाओं में दो बिंदुओं पर मिलती है,तो:

वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 4y + 4 = 0$ स्पर्श करता है

यदि $(a, b)$ उन रेखाओं $x+y=6, 2x+y=4$ और $x+2y=5$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के शीर्षों से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र है,तो $(a, b)$ है

बिंदु $(1, 1/2)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 4x + 2y - 4 = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म के बीच का कोण है:

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