ઉપવલયનું નાભિકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે. રેખા $x = 4$ એ નિયામિકા છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $1/2$ છે. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ શોધો. ($/3$ માં)

વક્ર $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ધ્યાનમાં લો. વક્રના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકનો ભાગ જે સંપર્ક બિંદુ અને નિયામિકા (directrix) વચ્ચે આવેલો છે, તે અનુરૂપ નાભિ (focus) પર કેટલા માપનો ખૂણો આંતરે છે?

ધારો કે બે ઉપવલયો $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, (a > b)$ અને $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, (A < B)$ દરેકની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{4}{5}$ છે. જો $E_1$ અને $E_2$ ના નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $\ell_1$ અને $\ell_2$ હોય, જેથી $2\ell_1^2 = 9\ell_2$ થાય. જો $E_1$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $8$ હોય, તો $E_2$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

આપેલ શરતો સંતોષતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો: શિરોબિંદુઓ $(\pm 5, 0)$,નાભિઓ $(\pm 4, 0)$.

શંકુ $\sqrt{(x - 5)^2 + (y - 4)^2} + \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2} = 6$ ના નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ધારો કે એક ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$,બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. જો $E$ ના નાભિ $F(\alpha, 0), \alpha > 0$ પર કેન્દ્રિત અને $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ,$E$ ને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે,તો $PQ^{2}$ ની કિંમત શોધો: