વક્ર $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ધ્યાનમાં લો. વક્રના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકનો ભાગ જે સંપર્ક બિંદુ અને નિયામિકા (directrix) વચ્ચે આવેલો છે, તે અનુરૂપ નાભિ (focus) પર કેટલા માપનો ખૂણો આંતરે છે?

ઉપવલય $x^2+2y^2=2$ ને દોરેલા સ્પર્શકો દ્વારા યામ અક્ષો પર કપાતા ભાગના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

જો $x+2y+k=0, k>0$ એ ઉપવલય $2x^2+y^2=2$ નો સ્પર્શક હોય,તો આપેલ ઉપવલયના બિંદુ $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{k}{3}\right)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ શોધો.

જો ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 12$ પરના બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ રેખા $2x + y = 4$ ને સમાંતર હોય અને $P$ આગળનો સ્પર્શક $Q(4, 4)$ માંથી પસાર થતો હોય,તો $PQ$ ની કિંમત શોધો.

ઉપવલય $x^2+4 y^2+2 x+16 y+13=0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

ધારો કે $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a > b$. ધારો કે $E_{2}$ એ બીજો ઉપવલય છે જે $E_{1}$ ની મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓને સ્પર્શે છે અને $E_{2}$ ના નાભિઓ એ $E_{1}$ ની ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે. જો $E_{1}$ અને $E_{2}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ સમાન હોય,તો $e$ નું મૂલ્ય શોધો: