यदि $(x_i, y_i)$ एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं,जहाँ $(x_1 - 2)^2 + (y_1 - 3)^2 = (x_2 - 2)^2 + (y_2 - 3)^2 = (x_3 - 2)^2 + (y_3 - 3)^2$ है,तो $2(x_1 + x_2 + x_3) + 3(y_1 + y_2 + y_3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C$ एक समबाहु त्रिभुज $PQR$ में अंतर्निहित है। $C$ के भुजाओं $PQ, QR, RP$ के साथ स्पर्श बिंदु क्रमशः $D, E, F$ हैं। रेखा $PQ$ का समीकरण $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ है और बिंदु $D$ $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ है। इसके अलावा,यह दिया गया है कि मूल बिंदु और $C$ का केंद्र रेखा $PQ$ के एक ही तरफ हैं।
$1.$ वृत्त $C$ का समीकरण है
$(A) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$(B) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 1$
$(C) (x - \sqrt{3})^2 + (y + 1)^2 = 1$
$(D) (x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$2.$ बिंदु $E$ और $F$ हैं
$(A) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(B) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(C) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$(D) \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$3.$ भुजाओं $QR, RP$ के समीकरण हैं
$(A) y = \frac{2}{\sqrt{3}}x + 1, y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x - 1$
$(B) y = \frac{1}{\sqrt{3}}x, y = 0$
$(C) y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1, y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x - 1$
$(D) y = \sqrt{3}x, y = 0$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

स्पर्शरेखा $L_1 \equiv 3x - 4y - 8 = 0$ और जीवा $L_2 \equiv x + y - 1 = 0$ एक वृत्त $S$ के केंद्र से क्रमशः $2$ और $\sqrt{2}$ इकाई की दूरी पर हैं। $(h, k)$ वृत्त $S$ का केंद्र है,जहाँ $h^2 + k^2 = 13$ है। यदि जीवा $L_2 = 0$ का मध्यबिंदु $(\alpha, \beta)$ है और वृत्त की त्रिज्या $r$ है,तो $\alpha + \beta + r =$

वृत्त $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ की जीवा,जो $(-1,1)$ पर स्पर्शरेखा के समानांतर है और स्पर्शरेखा से एक इकाई की दूरी पर है,का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $PQ$ और $RS$ त्रिज्या $r$ वाले एक वृत्त के व्यास $PR$ के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ हैं,इस प्रकार कि $PS$ और $RQ$ वृत्त की परिधि पर एक बिंदु $X$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो $2r$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $ABC$ एक त्रिभुज है जिसमें $AB=1$,$AC=3$ और $\angle BAC=\frac{\pi}{2}$ है। यदि $r>0$ त्रिज्या वाला एक वृत्त भुजाओं $AB$,$AC$ को स्पर्श करता है और त्रिभुज $ABC$ के परिवृत्त को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,तो $r$ का मान है: