वक्र 9y^2 = x^3 पर वे बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ | vedclass

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Question

(A) माना वक्र $9y^2 = x^3$ पर बिंदु $P(x_1, y_1)$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$।बिंद

Vedclass · Accepted Answer

$\left( 4, \frac{8}{3} \right)$ अथवा $\left( 4, -\frac{8}{3} \right)$

Vedclass · Answer

(A) माना वक्र $9y^2 = x^3$ पर बिंदु $P(x_1, y_1)$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$।बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{x_1^2}{6y_1}$ है।बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ है।चूँकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए।स्थिति $1$: $m_n = -1 \implies -\frac{6y_1}{x_1^2} = -1 \implies x_1^2 = 6y_1$।चूँकि $P$ वक्र पर स्थित है,$9y_1^2 = x_1^3$। $x_1^2 = 6y_1$ प्रतिस्थापित करने पर,$9y_1^2 = x_1(6y_1) \implies 9y_1^2 = 6x_1y_1$। यदि $y_1 
eq 0$ है,तो $9y_1 = 6x_1 \implies y_1 = \frac{2}{3}x_1$।$x_1^2 = 6y_1$ में मान रखने पर,$x_1^2 = 6(\frac{2}{3}x_1) = 4x_1 \implies x_1^2 - 4x_1 = 0 \implies x_1 = 0$ या $x_1 = 4$।यदि $x_1 = 4$,तो $y_1 = \frac{2}{3}(4) = \frac{8}{3}$। बिंदु $(4, 8/3)$ प्राप्त होता है।स्थिति $2$: $m_n = 1 \implies -\frac{6y_1}{x_1^2} = 1 \implies x_1^2 = -6y_1$।$9y_1^2 = x_1^3$ में मान रखने पर,$9y_1^2 = x_1(-6y_1) \implies 9y_1 = -6x_1 \implies y_1 = -\frac{2}{3}x_1$।$x_1^2 = -6y_1$ में मान रखने पर,$x_1^2 = -6(-\frac{2}{3}x_1) = 4x_1 \implies x_1 = 4$ या $x_1 = 0$।यदि $x_1 = 4$,तो $y_1 = -\frac{2}{3}(4) = -\frac{8}{3}$। बिंदु $(4, -8/3)$ प्राप्त होता है।अतः,अभीष्ट बिंदु $(4, 8/3)$ और $(4, -8/3)$ हैं।

वक्र $9y^2 = x^3$ पर वे बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ वक्र का अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है।

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