K के किन मानों के लिए फलन f(x) = Kx^3 + 9x^2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = Kx^3 + 9x^2 + 9x + 3$। $f(x)$ को $R$ पर वर्धमान फलन होने के लिए,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए। सबसे पहले,अवकल

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$K \leq 3$

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(C) दिया गया है $f(x) = Kx^3 + 9x^2 + 9x + 3$। $f(x)$ को $R$ पर वर्धमान फलन होने के लिए,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए। सबसे पहले,अवकलन करने पर: $f'(x) = 3Kx^2 + 18x + 9$। हमें सभी $x \in R$ के लिए $3Kx^2 + 18x + 9 \geq 0$ की आवश्यकता है। $3$ से विभाजित करने पर,हमें $Kx^2 + 6x + 3 \geq 0$ प्राप्त होता है। एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c \geq 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,$a > 0$ और विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \leq 0$ होना चाहिए। यहाँ,$a = K$,$b = 6$,और $c = 3$ है। शर्त $1$: $K > 0$। शर्त $2$: $D = 6^2 - 4(K)(3) \leq 0$। $36 - 12K \leq 0$। $36 \leq 12K$। $K \geq 3$। $K > 0$ और $K \geq 3$ को संयोजित करने पर,हमें $K \geq 3$ प्राप्त होता है। अतः,$K \geq 3$ के लिए फलन वर्धमान है।

$K$ के किन मानों के लिए फलन $f(x) = Kx^3 + 9x^2 + 9x + 3$,$R$ पर एक वर्धमान फलन है?

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