किस वास्तविक संख्या $K$ के लिए समीकरण $2x^3 + 3x + K = 0$ के दो वास्तविक मूल अंतराल $[0, 1]$ में होंगे?

मान लीजिए कि $f$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है। यदि $f(1) = -2$ और $x \in [1, 6]$ के लिए $f'(x) \geq 2$ है,तो:

यदि $f(x)=x^3+p x^2+q x$ अंतराल $[0,2]$ पर परिभाषित है,जहाँ $f(0)=f(2)$ और $f^{\prime}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $p^2+q^2=$

यदि $[1, 3]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ के लिए रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो:

यदि $f$ को $[1,3]$ में $f(x)=x^3+b x^2+a x$ द्वारा परिभाषित किया गया है,इस प्रकार कि $f(1)-f(3)=0$ और $f^{\prime}(c)=0$,जहाँ $c=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$,तो $(a, b)$ किसके बराबर है?

मान लीजिए कि $f$ एक ऐसा फलन है जो सभी $x$ के लिए सतत और अवकलनीय है। यदि $f(1) = 1$ और $[1, 5]$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है,तो $f(5)$ का अधिकतम मान क्या है?