જો $f(x)$ એ $[2, 5]$ અંતરાલમાં વિકલનીય હોય કે જ્યાં $f(2) = 1/5$ અને $f(5) = 1/2$ થાય,તો $2 < c < 5$ માટે એવી સંખ્યા $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \dots$

વિધેય $f(x) = x(x + 3)e^{-\frac{1}{2}x}$, $[-3, 0]$ માં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે. $c$ ની કિંમત શોધો જેના માટે $f'(c) = 0$ થાય.

ધારો કે $f(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર વ્યાખ્યાયિત અચળ ન હોય તેવું બે વાર વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(x)=f(1-x)$ અને $f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$ થાય. તો
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ એ $[0,1]$ પર ઓછામાં ઓછી બે વાર શૂન્ય થાય છે
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$

આપેલ છે કે $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સતત વિકલનીય છે જ્યાં $a < b, f(a) < 0$ અને $f(b) > 0$,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો હંમેશા સાચા છે?
$(i)$ $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સીમિત (bounded) છે.
$(ii)$ સમીકરણ $f(x) = 0$ ને $a < x < b$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(iii)$ $f(x)$ ની $a \le x \le b$ પર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો એવા બિંદુઓ પર મળે છે જ્યાં $f'(c) = 0$ હોય.
$(iv)$ $a < c < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું છે જ્યાં $f'(c) > 0$ હોય.
$(v)$ $a < d < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $d$ એવું છે જ્યાં $f'(d) < 0$ હોય.

જો $f: R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime \prime}(x) > 0$ હોય,અને $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$,$f(1) = 1$ હોય,તો

ધારો કે $f(x)=2+\cos x$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે છે.
$\text{વિધાન}-1$: દરેક વાસ્તવિક $t$ માટે,$[t, t+\pi]$ માં એક બિંદુ $c$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c)=0$ થાય. કારણ કે
$\text{વિધાન}-2$: દરેક વાસ્તવિક $t$ માટે $f(t)=f(t+2\pi)$ છે.