વિધેય $f(x) = x(x + 3)e^{-\frac{1}{2}x}$, $[-3, 0]$ માં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે. $c$ ની કિંમત શોધો જેના માટે $f'(c) = 0$ થાય.

મધ્યકમાન પ્રમેય $f(b) - f(a) = (b - a) f'(x_1)$ જ્યાં $a < x_1 < b$ માટે,જો $f(x) = 1/x$ હોય,તો $x_1 = ?$

તપાસો કે શું રોલનું પ્રમેય નીચેના વિધેય માટે લાગુ પડે છે. શું તમે આ ઉદાહરણ પરથી રોલના પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન વિશે કંઈ કહી શકો?
$f(x) = [x]$,જ્યાં $x \in [-2, 2]$

ધારો કે $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$ અને $x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ માટે $g(x) = f'(x)$ છે. જો $P$ એ વક્ર $y = g(x)$ પરનું એવું બિંદુ હોય કે જેથી $P$ આગળનો સ્પર્શક,વક્રના બિંદુઓ $\left( {\frac{1}{2}, g\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)$ અને $(3, g(3))$ ને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય,તો બિંદુ $P$ ના યામ શોધો.

ધારો કે $f(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2x + 1,$ તો

જો $f(x) = 2x - x^2$ માટે,અંતરાલ $[0, 1]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય (Lagrange's Mean Value Theorem) સંતોષાય છે,તો $c \in [0, 1]$ ની કિંમત શોધો.