$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^2} + 5x + 3}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)^x} = $

सीमा ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [x(x+1)]$

$\lim \limits _{x \to 0} \frac{{{{(\sin x - \tan x)}^2} - {{(1 - \cos 2x)}^4} + {x^5}}}{{7\cdot{{({{\tan }^{ - 1}}x)}^7}\, + {{({{\sin }^{ - 1}}x)}^6}+ 3{{\sin }^5}x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $S$ सभी $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ का समुच्चय है ताकि $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin(x^2)(\log_e x)^\alpha \sin(1/x^2)}{x^{\alpha \beta}(\log_e(1+x))^\beta} = 0$ हो। तो निम्नलिखित में से कौन सा (से) सही है (हैं)?

मान लीजिए $f(x)=5-|x-2|$ और $g(x)=|x+1|, x \in R$ है। यदि $f(x)$ अपना अधिकतम मान $\alpha$ पर और $g(x)$ अपना न्यूनतम मान $\beta$ पर प्राप्त करता है,तो $\lim _{x \rightarrow-\alpha \beta} \frac{(x-1)\left(x^2-5 x+6\right)}{x^2-6 x+8}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = [x-3] + |x-4|$ द्वारा $x \in R$ के लिए परिभाषित किया गया है,तो $\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।