एक विद्यालय के $20$ अध्यापक या तो गणित या भौतिकी पढ़ाते हैं। यदि $12$ अध्यापक गणित पढ़ाते हैं और $4$ अध्यापक दोनों विषय पढ़ाते हैं,तो केवल भौतिकी पढ़ाने वाले अध्यापकों की संख्या क्या होगी?

मान लीजिए $Z$ पूर्णांकों का समुच्चय है। यदि $A = \{ x \in Z : 2^{(x + 2)(x^2 - 5x + 6)} = 1 \}$ और $B = \{ x \in Z : -3 < 2x - 1 < 9 \}$ है,तो समुच्चय $A \times B$ के उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$ प्रथम $11$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। तो $A = \{B \subseteq S : n(B) \ge 2 \text{ और } B \text{ के सभी अवयवों का गुणनफल सम है}\}$ में अवयवों की संख्या . . . . . . . है।

एक निश्चित स्कूल में,$74 \%$ छात्र क्रिकेट पसंद करते हैं,$76 \%$ छात्र फुटबॉल पसंद करते हैं और $82 \%$ छात्र टेनिस पसंद करते हैं। तो,तीनों खेल कम से कम $...... \%$ छात्रों द्वारा पसंद किए जाते हैं।

एक उच्चतर माध्यमिक विद्यालय के $220$ छात्रों के सर्वेक्षण में,यह पाया गया कि कम से कम $125$ और अधिक से अधिक $130$ छात्र गणित का अध्ययन करते हैं; कम से कम $85$ और अधिक से अधिक $95$ भौतिकी का अध्ययन करते हैं; कम से कम $75$ और अधिक से अधिक $90$ रसायन विज्ञान का अध्ययन करते हैं; $30$ भौतिकी और रसायन विज्ञान दोनों का अध्ययन करते हैं; $50$ रसायन विज्ञान और गणित दोनों का अध्ययन करते हैं; $40$ गणित और भौतिकी दोनों का अध्ययन करते हैं और $10$ ने इनमें से किसी भी विषय का अध्ययन नहीं किया। मान लीजिए कि $m$ और $n$ क्रमशः उन छात्रों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या है जिन्होंने तीनों विषयों का अध्ययन किया है। तो $m+n$ बराबर है .............................

मान लीजिए $E$ अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों के समुच्चय को दर्शाता है,$V = \{a, e, i, o, u\}$ और $C$,$E$ में $V$ का पूरक है। तब,चार अक्षरों वाले शब्दों की संख्या (जहाँ अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति है) जिनमें कम से कम एक अक्षर $V$ से और कम से कम एक अक्षर $C$ से हो,है