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Question

(D) माना $I = \int\limits_0^{{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} {\,{x^5}\cdot\sin {x^3}\,dx} $ है। $t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt

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$1/3$

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(D) माना $I = \int\limits_0^{{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} {\,{x^5}\cdot\sin {x^3}\,dx} $ है। $t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 3x^2 dx$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$। जब $x = 0$,तब $t = 0$। जब $x = (\frac{\pi}{2})^{1/3}$,तब $t = \frac{\pi}{2}$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {t \cdot \sin(t) \cdot \frac{1}{3} dt} = \frac{1}{3} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {t \sin(t) dt}$। खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए,$u = t$ और $dv = \sin(t) dt$ लें। तब $du = dt$ और $v = -\cos(t)$। $I = \frac{1}{3} [ -t \cos(t) |_0^{\frac{\pi}{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {-\cos(t) dt} ]$। $I = \frac{1}{3} [ (- \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + 0) + \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) dt ]$। चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,पहला पद $0$ हो जाएगा। $I = \frac{1}{3} [ \sin(t) |_0^{\frac{\pi}{2}} ] = \frac{1}{3} [ \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) ] = \frac{1}{3} [ 1 - 0 ] = \frac{1}{3}$।

$\int\limits_0^{{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} {\,{x^5}\cdot\sin {x^3}\,dx} $ $=$

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