मान लीजिए frac{d}{dx}F(x) = frac{e^{sin x}}{x | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\frac{d}{dx}F(x) = \frac{e^{\sin x}}{x}$ है।हमें समाकलन $I = \int_{1}^{4} \frac{3}{x} e^{\sin(x^3)} dx$ का मान ज्ञात करना है।प्रति

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$64$

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(D) दिया गया है कि $\frac{d}{dx}F(x) = \frac{e^{\sin x}}{x}$ है।हमें समाकलन $I = \int_{1}^{4} \frac{3}{x} e^{\sin(x^3)} dx$ का मान ज्ञात करना है।प्रतिस्थापन को आसान बनाने के लिए अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:$I = \int_{1}^{4} \frac{3x^2}{x^3} e^{\sin(x^3)} dx$.मान लीजिए $t = x^3$,तब $dt = 3x^2 dx$ होगा।जब $x = 1$,तब $t = 1^3 = 1$ होगा।जब $x = 4$,तब $t = 4^3 = 64$ होगा।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_{1}^{64} \frac{e^{\sin t}}{t} dt$.चूंकि $\frac{d}{dt}F(t) = \frac{e^{\sin t}}{t}$ है,इसलिए समाकलन का मान:$I = [F(t)]_{1}^{64} = F(64) - F(1)$ होगा।दिए गए व्यंजक $F(k) - F(1)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 64$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $\frac{d}{dx}F(x) = \frac{e^{\sin x}}{x}$ जहाँ $x > 0$ है। यदि $\int_{1}^{4} \frac{3}{x} e^{\sin(x^3)} dx = F(k) - F(1)$ है,तो $k$ का एक संभावित मान है:

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$\int_{0}^{1} \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} dx$ का मान है

$\int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} \, dx = \dots$

$\int_0^{\pi /6} \frac{\sin x}{\cos^3 x} \, dx = $

निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{4}^{9} \frac{\sqrt{x}}{\left(30-x^{\frac{3}{2}}\right)^{2}} d x$

निश्चित समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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