int_{0}^{frac{pi}{4}} (tan^n x + tan^{n-2} x) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi/4} (	an^n x + 	an^{n-2} x) d(x - [x])$.चूंकि $x - [x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ का भिन्नात्मक भाग है,इसलिए $I = \int_{0}^{\p

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$\frac{1}{n-1}$

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(A) माना $I = \int_{0}^{\pi/4} (	an^n x + 	an^{n-2} x) d(x - [x])$.चूंकि $x - [x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ का भिन्नात्मक भाग है,इसलिए $I = \int_{0}^{\pi/4} (	an^n x + 	an^{n-2} x) d(\{x\})$.$x \in [0, \pi/4]$ के लिए,चूंकि $0 \le x इस प्रकार,$d(\{x\}) = dx$.अतः,$I = \int_{0}^{\pi/4} (	an^n x + 	an^{n-2} x) dx$.$	an^{n-2} x$ को कॉमन लेने पर,$I = \int_{0}^{\pi/4} 	an^{n-2} x (	an^2 x + 1) dx$.सर्वसमिका $1 + 	an^2 x = \sec^2 x$ का उपयोग करने पर,$I = \int_{0}^{\pi/4} 	an^{n-2} x \sec^2 x dx$.माना $u = 	an x$,तो $du = \sec^2 x dx$.जब $x = 0, u = 0$ और जब $x = \pi/4, u = 1$.अतः,$I = \int_{0}^{1} u^{n-2} du$.$I = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} ight]_{0}^{1} = \frac{1^{n-1}}{n-1} - 0 = \frac{1}{n-1}$.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$0.7111$	$0.7222$	$0.7333$	$0.7444$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan^n x + \tan^{n-2} x) d(x - [x])$ का मान ज्ञात कीजिए : (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)

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