int_{a}^{b} operatorname{sgn}(x) , dx = dots | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि सिग्नम फलन $\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \ 0, & x = 0 \ -1, & x < 0 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित है।साथ

Vedclass · Accepted Answer

$(A)$ और $(C)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) हम जानते हैं कि सिग्नम फलन $\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \ 0, & x = 0 \ -1, & x साथ ही,ध्यान दें कि $x \operatorname{sgn}(x) = |x|$ होता है।माना $I = \int_{a}^{b} \operatorname{sgn}(x) \, dx$ है।$\operatorname{sgn}(x)$ का प्रति-अवकलज $f(x) = |x|$ है।कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$\int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(a)$ होता है।चूंकि $x 
eq 0$ के लिए $\frac{d}{dx}(|x|) = \operatorname{sgn}(x)$ है,इसलिए समाकलन $\int_{a}^{b} \operatorname{sgn}(x) \, dx = [|x|]_{a}^{b} = |b| - |a|$ होगा।वैकल्पिक रूप से,चूंकि $|x| = x \operatorname{sgn}(x)$,हमारे पास $|b| - |a| = b \operatorname{sgn}(b) - a \operatorname{sgn}(a)$ है।अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों व्यंजक समान हैं।इसलिए,सही विकल्प $(D)$ है।

$\int_{a}^{b} \operatorname{sgn}(x) \, dx = \dots$ (जहाँ $a, b \in \mathbb{R}$)

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