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Question

(C) दिया गया सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x + k^2]}}{n^3}$ है।गुणधर्म $[a+b] = [a] + b$ का उपयोग करने प

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x + k^2]}}{n^3}$ है।गुणधर्म $[a+b] = [a] + b$ का उपयोग करने पर,जहाँ $b$ एक पूर्णांक है,हमें $[k^2 x + k^2] = [k^2 x] + k^2$ प्राप्त होता है।अतः,$L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x]}}{n^3} + \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} k^2}}{n^3}$ है।प्रथम भाग के लिए,स्क्वीज़ प्रमेय का उपयोग करने पर,$\sum [k^2 x] \approx \sum k^2 x = x \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \approx \frac{x n^3}{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{\sum [k^2 x]}{n^3} = \frac{x}{3}$ है।दूसरे भाग के लिए,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3} = \frac{1}{3}$ है।इसलिए,$L = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{[{1^2}x + {1^2}] + [{2^2}x + {2^2}] + [{3^2}x + {3^2}] + \dots + [{n^2}x + {n^2}]}}{{{n^3}}}$ का मान ज्ञात कीजिए :- (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है)

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{5-x}, & x < 3 \\ 5-x, & x > 3 \end{cases}$,तो:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{15^{x}-5^{x}-3^{x}+1}{1-\cos 2 x}$ का मान है

$\lim_{h \rightarrow 0} 2 \left\{ \frac{\sqrt{3} \sin (\frac{\pi}{6} + h) - \cos (\frac{\pi}{6} + h)}{\sqrt{3} h (\sqrt{3} \cos h - \sin h)} \right\}$ का मान है

यदि $a > 0$ और $n \in R$ है,तो $\lim_{x \rightarrow a} x^n = \dots$

सीमा ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x^3 - x^2 + 1)$

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