$m$ દળનો એક બ્લોક $R$ ત્રિજ્યાની સ્થિર ઘર્ષણરહિત અંતર્ગોળ સપાટી પર સરકે છે. તેને સૌથી નીચા બિંદુ $Q$ થી $H \ll R$ ઊંચાઈએ આવેલા બિંદુ $P$ પરથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે.
$(a)$ સૌથી નીચા બિંદુ $Q$ ને સ્થિતિ ઊર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર તરીકે લેતા,$\theta$ ના વિધેય તરીકે સ્થિતિ ઊર્જા કેટલી હશે?
$(b)$ $\theta$ ના વિધેય તરીકે ગતિ ઊર્જા કેટલી હશે?
$(c)$ કણને બિંદુ $P$ થી સૌથી નીચા બિંદુ $Q$ સુધી પહોંચવા માટે કેટલો સમય લાગશે?
$(d)$ બિંદુ $Q$ પર બ્લોક દ્વારા અંતર્ગોળ સપાટી પર કેટલું બળ લગાડવામાં આવે છે?

(D) દળ $m$ એ બિંદુ $Q$ થી $H$ ઊંચાઈ પર છે,જ્યાં સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે છે. આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,જો કોઈ ખૂણે $\theta$ પર,દળ $m$ ની સૌથી નીચા બિંદુ $Q$ થી ઊંચાઈ $h$ હોય,તો $\triangle ABC$ પરથી,$\cos \theta = \frac{R-h}{R} \Rightarrow h = R(1 - \cos \theta)$. તેથી,સ્થિતિ ઊર્જા $U(\theta) = mgh = mgR(1 - \cos \theta)$ થાય.
$(b)$ સ્થાન $\theta$ પર ગતિ ઊર્જા $K(\theta)$ એ પ્રારંભિક સ્થાન $P$ થી સ્થાન $\theta$ સુધી પહોંચવામાં થયેલ સ્થિતિ ઊર્જાનો ઘટાડો છે. તેથી,$K(\theta) = mgH - U(\theta) = mgH - mgR(1 - \cos \theta) = mg(H - R(1 - \cos \theta))$ થાય.
$(c)$ $H \ll R$ માટે,ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે જેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ છે. $P$ થી $Q$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય આ આવર્તકાળનો ચોથો ભાગ છે. તેથી,$t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4} \sqrt{\frac{R}{g}} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R}{g}}$ થાય.
$(d)$ સૌથી નીચા બિંદુ $Q$ પર ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો $m$ નો વેગ $v$ હોય,તો $\frac{1}{2}mv^2 = mgH \Rightarrow mv^2 = 2mgH$. કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{2mgH}{R}$ છે. $Q$ પર લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ માટે $N - mg = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow N = mg + \frac{2mgH}{R} = mg(1 + \frac{2H}{R})$ થાય. આ બ્લોક દ્વારા સપાટી પર લગાડવામાં આવતું બળ છે.