एक पिंड को पृथ्वी की सतह से अनंत तक ले जाने क | vedclass

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Question

(A) पिंड को पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_e}}$ के साथ प्रक्षेपित किया जाता है।पृथ्वी की सतह पर और पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर ऊर्जा संरक्षण

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 R_{e}}{g}}\left[\left(1+\frac{h}{R_{e}}\right)^{3 / 2}-1\right]$

Vedclass · Answer

(A) पिंड को पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_e}}$ के साथ प्रक्षेपित किया जाता है।पृथ्वी की सतह पर और पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = 0$ (क्योंकि पलायन वेग के लिए कुल ऊर्जा शून्य होती है)।$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \frac{dr}{dt}$.चरों को अलग करने पर: $dt = \frac{dr}{\sqrt{2GM}} \cdot \sqrt{r}$.$r=R_e$ पर $t=0$ से $r=R_e+h$ पर समय $t$ तक समाकलन करने पर:$t = \frac{1}{\sqrt{2GM}} \int_{R_e}^{R_e+h} r^{1/2} dr = \frac{1}{\sqrt{2GM}} \cdot \frac{2}{3} [r^{3/2}]_{R_e}^{R_e+h}$.$t = \frac{2}{3\sqrt{2GM}} [ (R_e+h)^{3/2} - R_e^{3/2} ] = \frac{2}{3\sqrt{2GM}} R_e^{3/2} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ]$.चूंकि $GM = gR_e^2$,इसलिए $\sqrt{GM} = \sqrt{g}R_e$ होता है।यह मान रखने पर: $t = \frac{2 R_e^{3/2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{g} R_e} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ] = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2R_e}{g}} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ]$.

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