h ऊँचाई वाले एक लंब-वृत्तीय शंकु के आकार की ब | vedclass

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Question

(B) माना $R$ शंकु के आधार की त्रिज्या है और $h$ इसकी ऊँचाई है। माना $V$ पानी का आयतन है।स्थिति $1$: आधार सतह पर है। खाली भाग ऊपर की ओर $a$ ऊँचाई वाला

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$\frac{1+\sqrt{85}}{8}$

Vedclass · Answer

(B) माना $R$ शंकु के आधार की त्रिज्या है और $h$ इसकी ऊँचाई है। माना $V$ पानी का आयतन है।स्थिति $1$: आधार सतह पर है। खाली भाग ऊपर की ओर $a$ ऊँचाई वाला एक छोटा शंकु है। समरूप त्रिभुजों द्वारा,जल सतह की त्रिज्या $r = \frac{R}{h}(h-a)$ है। पानी का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h - \frac{1}{3}\pi r^2 a = \frac{1}{3}\pi R^2 h (1 - \frac{a^3}{h^3})$ है।स्थिति $2$: उल्टा रखा गया है। पानी नीचे की ओर $h - \frac{a}{4}$ ऊँचाई वाला एक छोटा शंकु बनाता है। जल सतह की त्रिज्या $r_1 = \frac{R}{h}(h - \frac{a}{4})$ है। पानी का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi r_1^2 (h - \frac{a}{4}) = \frac{1}{3}\pi R^2 h (\frac{h - a/4}{h})^3$ है।आयतन को बराबर करने पर: $1 - \frac{a^3}{h^3} = (1 - \frac{a}{4h})^3$. माना $k = \frac{h}{a}$.$1 - \frac{1}{k^3} = (1 - \frac{1}{4k})^3 = (\frac{4k-1}{4k})^3$.$\frac{k^3-1}{k^3} = \frac{(4k-1)^3}{64k^3} \Rightarrow 64(k^3-1) = (4k-1)^3 = 64k^3 - 48k^2 + 12k - 1$.$64k^3 - 64 = 64k^3 - 48k^2 + 12k - 1 \Rightarrow 48k^2 - 12k - 63 = 0$.$3$ से भाग देने पर: $16k^2 - 4k - 21 = 0$. $k = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(16)(-21)}}{32} = \frac{4 \pm \sqrt{1360}}{32} = \frac{1 + \sqrt{85}}{8}$.

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