एक गोली को एक गोलाकार ग्रह की सतह से $v$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर दागा जाता है। जब यह अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है,तो ग्रह के गुरुत्वाकर्षण के कारण इसका त्वरण सतह पर इसके मान का $1/4$ होता है। यदि ग्रह से पलायन वेग $v_{esc} = v \sqrt{N}$ है,तो $N$ का मान ज्ञात कीजिए (वायुमंडल के कारण ऊर्जा हानि को अनदेखा करें)।

दो ग्रहों की त्रिज्याओं का अनुपात $r$ है और ग्रहों पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $x$ है। तो ग्रहों से पलायन वेग का अनुपात क्या होगा?

ग्रहों $A$ और $B$ की त्रिज्याओं का अनुपात ${k_1}$ है और उन पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात ${k_2}$ है। उनसे पलायन वेग का अनुपात क्या होगा?

नीचे दो कथन दिए गए हैं: एक को अभिकथन $A$ और दूसरे को कारण $R$ के रूप में लेबल किया गया है।
अभिकथन $A$: $m$ द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से अनंत तक प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} mgR$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
कारण $R$: जब किसी पिंड को पृथ्वी की सतह से अनंत तक प्रक्षेपित किया जाता है तो उसकी अधिकतम स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $11.2 \,km/s$ है। पृथ्वी के समान औसत घनत्व वाले लेकिन पृथ्वी से दोगुनी त्रिज्या वाले ग्रह से किसी पिंड का पलायन वेग क्या होगा ($\,km/s$ में)?

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I:$ किसी ग्रह के लिए,यदि ग्रह के द्रव्यमान और उसकी त्रिज्या का अनुपात बढ़ता है,तो ग्रह से पलायन वेग भी बढ़ता है।
कथन $II:$ पलायन वेग ग्रह की त्रिज्या से स्वतंत्र होता है।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें: