r त्रिज्या वाली एक पतली वलय पर +q आवेश इस प्र | vedclass

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Question

(B) वलय पर कुल आवेश $q_{	ext{total}}$ आवेश घनत्व $\lambda$ का परिधि पर समाकलन है:$q_{	ext{total}} = \int_0^{2\pi} \lambda (r d	heta) = \int_0^{2\pi

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$qQ / 4\pi \varepsilon_0 r$ के बराबर

Vedclass · Answer

(B) वलय पर कुल आवेश $q_{	ext{total}}$ आवेश घनत्व $\lambda$ का परिधि पर समाकलन है:$q_{	ext{total}} = \int_0^{2\pi} \lambda (r d	heta) = \int_0^{2\pi} \frac{q \sin^2 	heta}{\pi r} (r d	heta) = \frac{q}{\pi} \int_0^{2\pi} \sin^2 	heta d	heta$सर्वसमिका $\sin^2 	heta = (1 - \cos 2	heta) / 2$ का उपयोग करने पर:$q_{	ext{total}} = \frac{q}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2	heta}{2} d	heta = \frac{q}{2\pi} [	heta - \frac{\sin 2	heta}{2}]_0^{2\pi} = \frac{q}{2\pi} (2\pi) = q$चूंकि वलय के सभी बिंदु केंद्र से $r$ दूरी पर हैं,इसलिए केंद्र पर विद्युत विभव $V$ है:$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{dq}{r} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 r} \int dq = \frac{q_{	ext{total}}}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$आवेश $Q$ को केंद्र से अनंत तक ले जाने में विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य $W = Q(V_{	ext{centre}} - V_{\infty})$ है। चूंकि $V_{\infty} = 0$:$W = Q \cdot V = \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 r}$

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